является консервативным. Когда в нем перемещается заряд, то на тех участках пути, где направление перемещения составляет с направлением силы острый угол (например, в точке а на рис. 38), работа, совершаемая силами поля, положительна. Напротив, там, где направление перемещения составляет с направлением силы тупой угол (в точке b), работа сил электрического поля отрицательна.
Когда заряд, пройдя по замкнутому пути, вернется в исходную точку, полная работа электрических сил на этом пути, представляющая собой алгебраическую сумму положительных работ на одних участках и отрицательных на других, равна нулю.
Строгое математическое доказательство консервативности электрического поля в общем случае довольно сложно, и мы ограничимся поэтому доказательством этого свойства поля для простейшего случая — поля, создаваемого одним точечным зарядом.
Пусть в электрическом поле неподвижного точечного заряда q другой заряду движется вдоль произвольной замкнутой кривой 1—2—3—4— 5—6—1 (рис. 38) и после обхода вдоль кривой возвращается в исходную точку 1. Для подсчета совершаемой при этом работы проведем мысленно ряд сфер с центром в заряде q, которые разобьют весь путь заряда q0 на малые отрезки, и рассмотрим два отрезка l1 и l2, лежащие между одними и теми же сферами (между точками 2 и 3, 5 и 6). Если отрезки l1 и l2 достаточно малы, то можно считать, что сила, действующая на заряд q0, вo всех точках каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на равных расстояниях от заряда q, то, согласно закону Кулона, силы взаимодействия зарядов на обоих отрезках одинаковы по модулю, но отличаются направлением, образуя разные углы ?1 и ?2 с направлением перемещения. Наконец, при достаточной малости l1 и l2 эти отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа A23, совершаемая электрическими силами на пути 2—3, будет равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения, т. е.
Точно так же работа A56, совершаемая на пути 5—6, равна
Рис. 38. К доказательству независимости работы сил электрического поля от формы пути
50
Ho cos?2=cos(180°—?)=—cos?, так что А56=—Fl2cos?. Кроме того, из чертежа видно, что далее